小学就把高等数学学完了？此人知道高等数学有多少内容吗？既然如此，何不上完就直接去读数学博士，让人相信真有生博士？这种数学天才只是

小学就把高等数学学完了？此人知道高等数学有多少内容吗？既然如此，何不上完小学就直接去读数学博士，让人相信真有小学生博士？这种数学天才只是为了去参加高等数学基本用不上的数学竞赛拿名次？难怪连6岁会微积分这种神话都有人信。

如何在数学中进行刻意练习？

如何在数学中进行刻意练习？ Thoughts Memo的回答 针对学习数学证明的刻意练习 针对数学的刻意练习是什么样的？我具体指的是，自学本科和研究生阶段以证明为主的数学知识。（所以我不考虑高中之前更早阶段的数学，大学中证明成分较少的微积分和线性代数，数学竞赛，以及数学研究。我对数学研究很感兴趣，但这个问题似乎更难讨论。为什么不考虑数学竞赛？因为那些题目对我来说挺无聊的。） 对刻意练习的认知：Ericsson 的研究可信吗？值得我们信任吗？我认为：我们不一定要信他，但他的研究对错与否也没什么关系。我看中的是这个研究是否足够合理，我能否从这个研究中学到新东西。当将其应用到学习之后，我们可以问：「利用刻意练习的理论，我们是否在某个技能上突飞猛进？」换句话说，我们不是把他的研究作为一个必须坚持的结论或信念，而是当作需要斟酌的假说。 数学是「高度发展的领域」吗？ Ericsson 在《刻意练习》一书中，以及 Cedric Chin [1] 都声称，数学是非常适合刻意练习的领域。但我怎么看不出来呢？我看到书里的例子都是网球、记忆数字、音乐之类。 我翻遍了《刻意练习》整本书，里面确实有一些关于数学家及其特质的讨论，但整本书都没有涉及学习数学的具体技巧，也没有描述数学家会做什么样的「刻意练习」。 在数学中应用刻意练习的困难之处 可以参考 https://commoncog.com/blog/the-problems-with-deliberate-practice/ 中关于「在缺乏成熟训练方法的领域中，练习会遇到哪些问题？」的讨论。 我觉得数学有「定义不良的子技能」这个问题。在本科数学中，我们很难明确界定具体包含哪些技能。理解证明的能力？解决问题的能力？我觉得这些技能作为技能分类太过宽泛了。也许可以细分为「解决特定类型问题的能力」。然而教科书上的练习并没有标注练习的各项属性，因此我们很难有针对性地选择题目来提高特定技能。 本科水平的证明题太长了，你没办法进行「达到 95% 的准确度」之类的练习你无法在短时间内完成足够多的练习来达到这个标准。 Kathy Sierra 在 Badass: Making Users Awesome 这本书中用一系列插图来指导如何拆解技能（特别是最后一张图）。所以对于证明题，我觉得可以这样做来实现刻意练习的（也是经常做的），那就是放松一些假设条件，让问题更简单，或者证明一个特例。不过已经有人这样做了。另一种简化方法是先看一眼解答，然后尝试自己解决。这两种方法都是常见的学习技巧。 「缺乏反馈」这是自学数学时面临的另一个重要挑战。获取反馈的唯一办法，是查看答案，或者在数学 Stack Overflow 上发帖求助。针对特定书目/领域的 Discord 服务器可能解决这个问题，但反馈会很慢。这跟如果概念的现有解释质量低下，费曼学习法起不了作用[1]一样（如果现存的解释质量很糟糕，你甚至不能使用费曼技巧来获取假反馈）。 但我们也有 Anki 这样的工具。 在某种程度上，随着数学水平的提高，学习者确实能够逐渐培养出自我反馈能力，例如判断数学推导是否正确。但是我觉得这样的反馈仍然不同于刻意练习讨论的那种。 我觉得可以设计一些能够提供良好反馈的多选题。你可以设定「在这道多选题上达到 95% 的正确率」之类的目标。 刻意练习定义的组成成分 https://www.lesswrong.com/tag/deliberate-practice 让我们看看可以刻意练习的要求有哪些： ● 有目的的练习（「挑战自我获得进步」[1]）： ● 「明白何为优秀」/「有一个技能理论，并按照这个理论来指导练习」：关于什么才算是一个理论，我的理解还不够清晰。比如，「解决大量问题，你最终就会擅长数学」这样的说法恐怕并不能算作一个理论（天哪，这听起来更像是一种过于简单化的练习方法！）。《刻意练习》这本书主要强调了接触专家的重要性，据说专家能够通过观察你的表现来判断你需要在哪些方面进行改进。 「这就是在任何领域中提升自己的基本方法：尽可能地接近刻意练习。如果你所处的领域可以实现刻意练习，那你就要做刻意练习。如果实现不了，那就要尽可能应用刻意练习的原则。这通常可以归结为一种带有额外步骤的有目的练习：首先，找出表现卓越的专家；然后，弄清楚是什么让他们如此出色；最后，设计能让你也做到这一点的训练方法。」[1]从某种意义上说，「尝试证明一个定理，遇到困难，翻书寻找提示，然后找出你缺少的洞察力或者策略，并将其记录在 Anki 里」，这种方法正是这个原则在数学学习中的具体体现。 另外值得一提的是，刻意练习常常被视为防止技能停滞不前的一种方式；但在数学学习中，你其实不用太担心技能停滞的问题！只要你在不断学习新的数学知识，解决以前没有遇到过的问题，并且没有忘得太快（间隔重复在这方面非常有帮助），你就可以确信自己一直在进步。 目标 有一件事要弄明白，那就是为什么我们要「提高数学能力」？我们的最终目标究竟是什么？根据不同的目标，我认为我们应该采取的学习和练习方法也会有所不同。 与竞技象棋或游泳等领域不同，数学学习并没有一个明确的、单一的优化目标（尽管即使在游泳这样的运动中，你也可以追求速度以外的其他目标）。因此，在数学学习中，我们必须首先明确自己的学习目标。 关于我个人的数学学习方式，有一点似乎与常规不同：当我学完一个主题后，我通常不会刻意通过大量练习题来「进一步提高」。但也许我应该这样做？我的自然倾向是转向其他引起我好奇心的新主题。只有当某些情况提醒我时，比如遇到一个具体的问题或困难，我才会回头复习之前的主题。 另一个难点是理解什么是「所期待」的掌握程度，比如说，对于任意一个重大定理，只要听见名字，就能坐下来默写一遍证明，应该达到这样的水平吗？还是说，如果一个人在证明过程中遇到困难，但最终通过几个小时的努力（依靠记忆和一般的解题经验）成功完成证明，这样也可以接受？学界对于一个数学家应该掌握哪些知识并没有明确的标准。 我的一些目标： ● 我希望能够理解某些数学概念或结论背后的缘由。这个目标某种程度上取决于你对解释水平的要求。 ● 能够识别出某个场景下有哪些数学知识与其有关，并将其应用。 参见 参考 1. ↑ 1.01.11.21.31.41.51.6 Peak: secrets from the new science of expertise. Anders Ericsson, Robert Pool. 外部链接 一些链接（我觉得这些链接没啥用，但我也只能找到这么多了） ● https://news.ycombinator.com/item?id=2515455 ● https://www.reddit.com/r/math/comments/71saol/what_does_deliberate_practice_mean_for_math/ ● https://matheducators.stackexchange.com/questions/11104/how-can-i-implement-the-principles-of-deliberate-practise-in-my-mathematical-stu Thoughts Memo 汉化组译制 感谢主要译者 Shom，校对 Jarrett Ye 原文：Deliberate practice for learning proof-based math 相关文章 Thoughts Memo：用间隔重复系统来看穿数学概念Thoughts Memo：我重塑大脑，使其精通数学叶峻峣：规律记忆练习的承载能力；刻意练习和心流之间的张力叶峻峣：刻意练习，来自 Ericsson via 知乎热榜 (author: Thoughts Memo)

#私密 #树洞 July是我刚上初中时认识的，我还记得那时刚刚见到她的情景，当时我没明白过来，这就是一见钟情，她是我第一个也是最

#私密 #树洞 July是我刚上初中时认识的，我还记得那时刚刚见到她的情景，当时我没明白过来，这就是一见钟情，她是我第一个也是最后一个喜欢的人，她很好，爱和我开玩笑，和我关系也不错，放学时我们有时会一起走，我们还在一个值日组里值日，那些日子是我最宝贵的时光，她很好看，准确的说是很耐看，活泼可爱开朗，是我心中女孩子的代表，没有哪个女孩比她更完美了，我当时很喜欢她，但却苦于表达，现在回想起来跟她相处时我的行为很异常，我也知道我在她眼里一定是怪怪的，我很内向，不敢跟女孩子独处，但却又很盼望和她独处，那时老天爷真的给了我很多很多机会，我和July之间的关系，几乎全是July在推进的，她主动跟我打招呼，放学时有时还等着我，给我送糖果，给我看她小时候的照片，朝我要联系方式……有一次放学我们走到校门口，她朝我做了一个比心的手势，然后笑着离开了，她没注意到，我在那里愣了得有半分钟，当时我心想，July是不是真的喜欢我。快乐的日子过得很快，时间到了2019年末，那年放寒假，我们联系还算紧密，但也都是July主动联系我，找我在QQ上聊天，每次都是July说好几句，而我吞吞吐吐的回两三个字，我当时并没觉得那很不礼貌，是在作死，反而觉得July会察觉我这样吞吞吐吐，是因为我喜欢她，的确，July这样以为了，时间到了20年3月份，那是一个让我终生难忘的夜晚，因为疫情的原因，我们那年没有去学校上课，而是第一次接触网课，我当时在写作业，也没意识到July已经有几天没给我发消息了，突然我收到一条消息，是July发来的，我打开手机看，July问我：“你怎么回事呢，为什么每次聊天都是我先找你呢，还有每次你都回的那么短？”我看到这条消息时十分激动，随后July又问我：“你是不是喜欢我？”我当时既兴奋又激动，感到这真是天助我，可我却回答了我人生中最错误的一句话，我是这样回答July的：“不不不，当然不是啦，我只是不知道怎么和女生说话，每当和你说话时，我不知怎么就会心跳加速，双手颤抖，大脑短路”。是的，我好像否定了我喜欢她，但我太喜欢她了！July没说后来什么，她见我的回答后，就说：“啊，我知道了，你别多想，我就是随便问问”。我当时看到July的回复，并没有察觉出什么，但是打那时起，July再也没有主动找过我，我当时还傻傻的认为自己这是爱她的表现，可实际上，July就这样渐渐的离我越来越远。后来20年下半学期开学后，学校却要分班，我当时不知道July和我都是将要分到5班，当时我母亲是学校的老师，转言之我是教师子弟，有调班的权利，我母亲问我要去哪个班，我思前想后，却选了1班。开学第一天，在同学们都不知道自己要分到哪一个班时，我已经知道了，老师念了1班同学的名字，我确在其中，后来老师念到July时，我激动极了，刚要感叹命运对我之好，这时突然有个人站到班门口，说他叫july，是1班的。而坐在我身后的July被老师叫了起来，她被告知要去5班，她在这里仅仅是因为重名重姓......哈哈，老天跟我开了一个天大的玩笑。July就此远离我而去。从那之后，我和July遇见的机会越来越少，最后一次正式遇见，是一个下着秋雨的午后，我们刚进校园里，因为雨下的不大，我没有打伞，July打着伞并看见了我，朝我走来，她朝我举起伞，为我遮雨，我们在一把伞下走着，July问我在新班级怎么样，知识学会了吗，我还跟之前一样仅仅回答一两个字，July沉默了一会儿，又跟我说：“哎，感觉数学好难啊，我根本学不会呢，这次才考了60分”我听到后，却笨的连句安慰话都不会说，等我蠢猪般的发言结束后，July又沉默了，再也没跟我说什么，随后我们分别了，去到了各自的教室。自那次之后，我再没遇见过July，后来又好多次机会跟她重新建立联系，但我都没抓住。自那时起July成了我的一个心结。等到上高中之后，我再也没遇见过任何一个像July这样主动接近我的女生。我也再没机会和女生说一句话。后来我悲痛欲绝，突然在22年6月份，那段时间确实是很痛苦，由于疫情，我在不明不白之中被封在学校中三个月。后来回到家，我忍不住向July表白，发了一段长文，有些冗长却是真情实感。长文内容是这样的：“July，许久不见了，你还好吗？有些话我一直想说，但又说不出口，或许是性格的缘故，我以前不管对你多说什么，但我确信，当我第一眼看到你时，我就喜欢上你，那时还小，不知道这是什么，也不敢多说话，怕你讨厌我了，或许是这样的原故，每当你对我说话时，我都不曾直视过你的眼睛，我当然愿意看你，你如此美丽，而且你可爱至极，每当你对我说一句话，我的心都在怦怦跳，我想说出最好的答复，可往往话都到嘴边了，却又说不出口了，总是说出不太满意的话，过后便后悔万分，每次都是这样，直到我离开了你，才日日后悔，太苦了，相思太苦，我不敢说我喜欢你，却又十分的想说，唉，矛盾冲突，今天我鼓起勇气，下了决心说这些：我喜欢你，July，至爱。分班后就很少见了，我一直在想象，想象几年之后，几十年之后会怎样，你还记得我吗？我是否对你表白，你的反应又是什么。我想来想去，多少个不眠的夜晚。一旦不能有，便再难开口。我始终不敢迈出第一步，中考后的暑假我本想说，可看到你爱的人和爱你的人，我真不知道怎样了。那段日子真是绝望，我不敢打扰你，只能默默。July，我们或许并不熟悉，那是因为你我太久没见，初中时我们同班，段时光真是太难忘了，那时确信我要娶了你，哈哈，我真是太喜欢你了，真的。没有哪个女生像你这样，至善至美。我真后悔没早对你说，我们都在成长，还记得初二下学期刚上网课时，你问我为什么每次和你聊天时都显得那样不情愿，我的回答是我不知道怎么和女生说话，每当和你说话时，不知怎么就心跳加速，双手颤抖，大脑短路。当时我很激动，你又问我是不是喜欢你，我多想说是的，可又不敢，后来你说你现在不想这样，太早了。是的，的确早，我便只字不提这件事了。现在我们都长大了，我想不会太早了。我现在依然很激动，不是和别的女生说话这样，是和你，你让我心潮澎湃，我要努力克制自己，不要说出错误的话。这次我真的觉得不能再不敢了，这么多日子过去了，都成长了，没有什么不敢说的，我想说我爱你，太爱了，你就像小草尖头的露水，那样清纯，我不能让他被骄阳蒸干；你就像春季盛开的桃花，那样惹人怜，我不能再看他枯萎。”July读后，没回话，过了半年，在冬天的一个夜晚里，大概是晚上8点多，July才回了一段话：“我想了很久我觉得有必要和你说清楚，我们是不合适的虽然我不知道你为什么喜欢我但还是要谢谢你可以一直喜欢我四年，你也知道我们两个之间的距离你学习那么好你更应该把放在我身上的时间与精力转移到更有意义和价值的东西。我觉得你并不是很了解我而且我也不是很了解你我不知道该怎样去诉说你我之间的差距太大了就好像隔着一条河一样。我不值得你去喜欢我爱我如果这四年里我可以给你带来光亮的话我是很高兴的或许你应该去考虑该考哪一所好的大学而不是继续把时间停留在我身上你值得更好的你的前途是光明的四年的时间里会发生很多事情的没人知道下一个四年是什么也许以后有缘分我们还会有交集，但不是现在。”那是22年冬天，外面的风雪很大，我看着飘落的雪花，读着这段文字，大脑一片空白......我坐回书桌前，盯着手机屏幕，想要回话，却真的一个字也说不出来。过了两天，我才做出最后的答应：“对不起，July，恕我不能及时回复，看完你的消息我也想了很久，谢谢你告诉我你的感受。我理解，太突然了，在初中的时候我从没对你表现爱意，甚至很少主动和你说话。我太冲动，现在应该恢复些理智，你说你不知道我为什么喜欢你，其实一开始我也不知道，但和你相处一段时间后，我发现你真的很可爱，你乐观，喜欢笑，也喜欢搞恶作剧。与你在一起我快乐幸福无比。但是我当时就是不知道怎么表达，我知道我就是喜欢上了你，但这似乎是不太适合当时那个年龄的。我那时不知道我是否配得上你，所以我才想让我在成绩上出众一点，初二上学期这目的似乎达成了，可是与你的联系却越来越少……我们之间没有差距，而你是唯一值得让我喜欢让我爱的人，你说我不该把精力与时间放在你身上，可是爱过了你我又还能为谁蠢动呢？谢谢你对我的期许，其实自从上次说完话后，我也更坦然了，你说没人知道下一个四年是什么，或许是我所希望的，或许不是，至少现在无法改变什么了。”July读了两三分钟，大概是这样，她叫我别多想，让我好好学习，考上985请她吃饭。和July吃饭，也终究是幻想罢了，我还是没能考上985，还在这个破地方呆着，但值得一提的是，我竟和July在同一个城市里，只不过一个在西北，一个在东南。如今写下这些文字的我，还是不能鼓起勇气去见见July，我知道不能见面，否则我会忍不住哭泣，也许吧，我常常关注她，她在微信朋友圈中分享她的日常生活，还有她和她的男朋友，一起吃喝玩乐，那个男孩真的比我强不少，很帅又很有钱，人家去的是路环留学，有意思。命运真是颇有趣味，到头来我为学习浪费的那些时间，终究是白白打空的，跟他相比我一无是处，也相比不了什么，这终究是梦一场......