万万没想到 拼瓷砖也能拼出顶级数学难题？
万万没想到拼瓷砖也能拼出顶级数学难题？“我注意到它产生了一种我以前从未见过的组合镶嵌效果，”他说，“这是一种棘手的小瓷砖。”他向志趣相投的好友、加拿大滑铁卢大学的计算机科学家CraigKaplan描述了自己的作品，令后者意识到某种可能性。Smith和Kaplan随后又邀请另两位研究人员——美国国家数学博物馆和阿肯色大学的数学家ChaimGoodman-Strauss和英国剑桥的软件工程师JosephSamuelMyers——加入他们的团队。拥有组合数学方向博士学位的Myers立刻将所有业余时间投入到对帽子形瓷砖的分析上，并在短短一周多的时间里，给出了关键性的证明过程。Kaplan说：“看到他如此迅速地搞定一切，我们都感到非常震惊。”2023年3月20日，这支4人团队正式向数学界宣告，他们找到了所谓“Einstein问题”的解：Smith发现的帽子形瓷砖，以及由帽子形瓷砖连续变换生成的瓷砖族（剔除少数几个例外），全部都是可以非周期密铺全平面的单一形状瓷砖。［为什么叫“Einstein（爱因斯坦）”问题，且看后文。］用“帽子”非周期密铺全平面。丨图源：@[email protected]一时整个数学界都为之震动。要知道，在过去半个世纪里，数学家连一块可以非周期密铺全平面的单一形状瓷砖都未能找到，结果Smith等人在不到半年的时间里，找到了无限多组。同样令数学界匪夷所思的事情是，作为他们研究起点的帽子形瓷砖，竟然是一个如此平平无奇的十三边形。形如帽子的瓷砖图源:@[email protected]而且，包括上面4位做出了重要发现的当事人，当时只怕没有人能够想到，就在两个月后，他们将再次震撼数学界。非周期密铺与Einstein问题Tiling，一般译作铺砌，平铺或者密铺，是组合数学领域里的一个大的分支。大意就是用某些形状单位，无缝隙且不重叠地覆盖住某个几何区域——可以是平面，也可以是空间；只不过对于后者，用于密铺的单位从二维瓷砖变成了三维或更高维的“积木”。比如说，我们可以很“简单”地用单位正方形瓷砖密铺二维平面。当然，实际操作是不现实的，但数学思维赋予了我们一种自由的可能性，让我们能够从理性上体悟到，虽然实现它的过程需要无限的时间，但用单位正方形瓷砖密铺二维全平面，本质上是简单的。类似于，直线是线段向两个方向上无限延伸而来，而我们确实可以把握直线这个涉及无限的概念，并把它作为平面几何的基础。如若再略加思考，我们还可以发现正六边形同样可以密铺平面。类似地，正三角形也可以。下面的密铺属于周期性密铺里最简单、最显然的实例。我们将要介绍的Einstein问题，则属于aperiodictiling——习惯上译作“非周期密铺”。所谓“非周期密铺“，指使用的那组瓷砖在密铺的同时，要保证拼接成的镶嵌图案不具有周期性。显而易见，正方形和正六边形瓷砖只能周期性地密铺平面，而做不到非周期性密铺。凭借直觉也很容易想到，能够非周期密铺平面的那些瓷砖应该具有不对称的特性，就如前面提到的帽子形瓷砖。此处需要说明的是，我们这里所说的图案不具有周期性的含义是，当确定所使用瓷砖的形状之后，无论如何搭配、组合、设计，都永远无法制造出全局性的周期性图案，这才能叫作非周期密铺，而许多密铺（瓷砖类）是周期性和非周期性同时存在的。因此我们可以把aperiodictiling翻译成“本质非周期密铺”，即完全没有周期性存在的密铺。以下如未经说明，提及的“非周期密铺”均指“本质非周期密铺”。数学家之所以对非周期性做出了如此严格的定义，一是为了排除一些过于平凡且无趣的几何结构，二则是和非周期密铺的历史起源相关。历史上首位系统性研究非周期密铺的数学家，是杰出的华裔数理逻辑学家王浩。在研究图灵可计算函数的时候，王浩发现，某个可判定性命题与非周期密铺密切相关。他一度尝试证明如下猜想：如果对某类瓷砖存在（一般意义上的）非周期密铺，那么也一定存在周期性的密铺。但是不久后，王浩的学生RobertBerger构造出了反例，他用20426种不同的瓷砖构造了本质上的非周期密铺——无论怎么重新铺排，都不会出现周期性结构。此后，数学家对本质非周期密铺给与了持续的关注度。数学界渴望了解，是否可以用更少种数目的瓷砖集构造出非周期密铺。后来的人们成功降低了20426这个数字，变成了含92种的瓷砖集，然后是6种，最后是2种，即著名的彭罗斯瓷砖，后者来自后来的诺贝尔奖物理学奖得主罗杰·彭罗斯（RogerPenrose）。图源：https://math.berkeley.edu/~kpmann/penrose%20reading.pdf关于本质非周期密铺，上一次重大的发现要追溯到1974年，数学家罗杰·彭罗斯发现的彭罗斯菱形密铺：使用了一种风筝（浅黄）和一种飞镖（红）。技术细节：需要对图案做一点点小改动来避免形成右侧的菱形（全等的菱形当然可以周期性铺满平面），以满足本质“非周期密铺”的定义。那么，是否还可以把数字降到1呢？这就是著名的Einstein问题了：是否存在单一形状的瓷砖，可用它非周期密铺整个平面？这里的Einstein，和那位著名的物理学家并无关系，单纯是德国几何学家LudwigDanzer的双关语玩笑：在德语里“einstein”的意思是“一块石头”。现在回到故事开头，在2023年3月末，DavidSmith，JosephSamuelMyers，CraigS.Kaplan和ChaimGoodman-Strauss为Einstein问题画上了句号。但故事并没有结束。艺术、灵感与最后一块拼图实际上，Smith等人在使用帽子形瓷砖非周期密铺时，需要用到帽子形的镜像对称版瓷砖。在当前的语境下，我们默认，两个镜像对称的瓷砖，是同一种、同一形状的瓷砖。上面所有瓷砖形状都相同（都是所谓的帽子）。然而，可借助染色揭示一些结构：深蓝色瓷砖和其它瓷砖是镜像对称的。每个深蓝色瓷砖都以相同的方式被其他三个浅蓝色包围。丨图源：@[email protected]就像左、右手是镜像对称的，无法通过旋转和平移实现左右手的重合。两个镜像对称的瓷砖同样不能通过旋转和平移转化成彼此。既然如此，它们真的能叫“单一”瓷砖吗？在数学界普遍认可了Smith等人的成果后，一个新的问题立刻浮出了水面：能否找到不借助镜像对称，仅通过旋转和平移，实现非周期密铺的真正单一形状的瓷砖？当时所有人都认为，这个后续问题只怕十分困难，没有人期望能在近期做出突破。更没有人能够想到答案就在众人的眼皮底下……北京时间2023年5月30日凌晨，DavidSmith，JosephSamuelMyers等4人发布了一篇23页的新论文Achiralaperiodicmonotile（之前关于“帽子”形瓷砖论文长达89页），宣布他们找到了最终的答案。他们找到了不借助镜像对称，仅通过旋转和平移可以非周期密铺的真单一形状的瓷砖，他们将其命名为“Spectre”（姑且翻译成“幽灵”）。神奇又简单的幽灵瓷砖，是一个严格手性非周期单形，也就是说，它只能用平移和旋转来拼成没有重复图案的平铺；即便你想用镜像反射的瓷砖，也用不了。丨图源：@[email protected]Kaplan在上传论文后意犹未尽，又兴奋地在数学网络社区mathstodon分享了他们最新工作的大量细节，包括灵感来源、思考方式和证明思路等等。如前文所述，他们发现的不是满足Einstein问题的唯一一个瓷砖单形，而是一组无限的瓷砖集，集合里的多边形瓷砖都可以满足Einstein问题——当构造出满足条件的帽子后，他们通过微妙地调节帽子的边，生成的类似图形也满足条件。Kaplan等人发现，在一定规则下，这些多边形瓷砖的形状其实可被其中两条边的边长唯一决定。他们因此用Tile(...PC版：https://www.cnbeta.com.tw/articles/soft/1375323.htm手机版：https://m.cnbeta.com.tw/view/1375323.htm
在Telegram中查看相关推荐
🔍 发送关键词来寻找群组、频道或视频。
启动SOSO机器人