如何在数学中进行刻意练习？

如何在数学中进行刻意练习？ Thoughts Memo的回答 针对学习数学证明的刻意练习 针对数学的刻意练习是什么样的？我具体指的是，自学本科和研究生阶段以证明为主的数学知识。（所以我不考虑高中之前更早阶段的数学，大学中证明成分较少的微积分和线性代数，数学竞赛，以及数学研究。我对数学研究很感兴趣，但这个问题似乎更难讨论。为什么不考虑数学竞赛？因为那些题目对我来说挺无聊的。） 对刻意练习的认知：Ericsson 的研究可信吗？值得我们信任吗？我认为：我们不一定要信他，但他的研究对错与否也没什么关系。我看中的是这个研究是否足够合理，我能否从这个研究中学到新东西。当将其应用到学习之后，我们可以问：「利用刻意练习的理论，我们是否在某个技能上突飞猛进？」换句话说，我们不是把他的研究作为一个必须坚持的结论或信念，而是当作需要斟酌的假说。 数学是「高度发展的领域」吗？ Ericsson 在《刻意练习》一书中，以及 Cedric Chin [1] 都声称，数学是非常适合刻意练习的领域。但我怎么看不出来呢？我看到书里的例子都是网球、记忆数字、音乐之类。 我翻遍了《刻意练习》整本书，里面确实有一些关于数学家及其特质的讨论，但整本书都没有涉及学习数学的具体技巧，也没有描述数学家会做什么样的「刻意练习」。 在数学中应用刻意练习的困难之处 可以参考 https://commoncog.com/blog/the-problems-with-deliberate-practice/ 中关于「在缺乏成熟训练方法的领域中，练习会遇到哪些问题？」的讨论。 我觉得数学有「定义不良的子技能」这个问题。在本科数学中，我们很难明确界定具体包含哪些技能。理解证明的能力？解决问题的能力？我觉得这些技能作为技能分类太过宽泛了。也许可以细分为「解决特定类型问题的能力」。然而教科书上的练习并没有标注练习的各项属性，因此我们很难有针对性地选择题目来提高特定技能。 本科水平的证明题太长了，你没办法进行「达到 95% 的准确度」之类的练习你无法在短时间内完成足够多的练习来达到这个标准。 Kathy Sierra 在 Badass: Making Users Awesome 这本书中用一系列插图来指导如何拆解技能（特别是最后一张图）。所以对于证明题，我觉得可以这样做来实现刻意练习的（也是经常做的），那就是放松一些假设条件，让问题更简单，或者证明一个特例。不过已经有人这样做了。另一种简化方法是先看一眼解答，然后尝试自己解决。这两种方法都是常见的学习技巧。 「缺乏反馈」这是自学数学时面临的另一个重要挑战。获取反馈的唯一办法，是查看答案，或者在数学 Stack Overflow 上发帖求助。针对特定书目/领域的 Discord 服务器可能解决这个问题，但反馈会很慢。这跟如果概念的现有解释质量低下，费曼学习法起不了作用[1]一样（如果现存的解释质量很糟糕，你甚至不能使用费曼技巧来获取假反馈）。 但我们也有 Anki 这样的工具。 在某种程度上，随着数学水平的提高，学习者确实能够逐渐培养出自我反馈能力，例如判断数学推导是否正确。但是我觉得这样的反馈仍然不同于刻意练习讨论的那种。 我觉得可以设计一些能够提供良好反馈的多选题。你可以设定「在这道多选题上达到 95% 的正确率」之类的目标。 刻意练习定义的组成成分 https://www.lesswrong.com/tag/deliberate-practice 让我们看看可以刻意练习的要求有哪些： ● 有目的的练习（「挑战自我获得进步」[1]）： ● 「明白何为优秀」/「有一个技能理论，并按照这个理论来指导练习」：关于什么才算是一个理论，我的理解还不够清晰。比如，「解决大量问题，你最终就会擅长数学」这样的说法恐怕并不能算作一个理论（天哪，这听起来更像是一种过于简单化的练习方法！）。《刻意练习》这本书主要强调了接触专家的重要性，据说专家能够通过观察你的表现来判断你需要在哪些方面进行改进。 「这就是在任何领域中提升自己的基本方法：尽可能地接近刻意练习。如果你所处的领域可以实现刻意练习，那你就要做刻意练习。如果实现不了，那就要尽可能应用刻意练习的原则。这通常可以归结为一种带有额外步骤的有目的练习：首先，找出表现卓越的专家；然后，弄清楚是什么让他们如此出色；最后，设计能让你也做到这一点的训练方法。」[1]从某种意义上说，「尝试证明一个定理，遇到困难，翻书寻找提示，然后找出你缺少的洞察力或者策略，并将其记录在 Anki 里」，这种方法正是这个原则在数学学习中的具体体现。 另外值得一提的是，刻意练习常常被视为防止技能停滞不前的一种方式；但在数学学习中，你其实不用太担心技能停滞的问题！只要你在不断学习新的数学知识，解决以前没有遇到过的问题，并且没有忘得太快（间隔重复在这方面非常有帮助），你就可以确信自己一直在进步。 目标 有一件事要弄明白，那就是为什么我们要「提高数学能力」？我们的最终目标究竟是什么？根据不同的目标，我认为我们应该采取的学习和练习方法也会有所不同。 与竞技象棋或游泳等领域不同，数学学习并没有一个明确的、单一的优化目标（尽管即使在游泳这样的运动中，你也可以追求速度以外的其他目标）。因此，在数学学习中，我们必须首先明确自己的学习目标。 关于我个人的数学学习方式，有一点似乎与常规不同：当我学完一个主题后，我通常不会刻意通过大量练习题来「进一步提高」。但也许我应该这样做？我的自然倾向是转向其他引起我好奇心的新主题。只有当某些情况提醒我时，比如遇到一个具体的问题或困难，我才会回头复习之前的主题。 另一个难点是理解什么是「所期待」的掌握程度，比如说，对于任意一个重大定理，只要听见名字，就能坐下来默写一遍证明，应该达到这样的水平吗？还是说，如果一个人在证明过程中遇到困难，但最终通过几个小时的努力（依靠记忆和一般的解题经验）成功完成证明，这样也可以接受？学界对于一个数学家应该掌握哪些知识并没有明确的标准。 我的一些目标： ● 我希望能够理解某些数学概念或结论背后的缘由。这个目标某种程度上取决于你对解释水平的要求。 ● 能够识别出某个场景下有哪些数学知识与其有关，并将其应用。 参见 参考 1. ↑ 1.01.11.21.31.41.51.6 Peak: secrets from the new science of expertise. Anders Ericsson, Robert Pool. 外部链接 一些链接（我觉得这些链接没啥用，但我也只能找到这么多了） ● https://news.ycombinator.com/item?id=2515455 ● https://www.reddit.com/r/math/comments/71saol/what_does_deliberate_practice_mean_for_math/ ● https://matheducators.stackexchange.com/questions/11104/how-can-i-implement-the-principles-of-deliberate-practise-in-my-mathematical-stu Thoughts Memo 汉化组译制 感谢主要译者 Shom，校对 Jarrett Ye 原文：Deliberate practice for learning proof-based math 相关文章 Thoughts Memo：用间隔重复系统来看穿数学概念Thoughts Memo：我重塑大脑，使其精通数学叶峻峣：规律记忆练习的承载能力；刻意练习和心流之间的张力叶峻峣：刻意练习，来自 Ericsson via 知乎热榜 (author: Thoughts Memo)

人与猿类如何在进化中“甩掉”尾巴

人与猿类如何在进化中“甩掉”尾巴   灵长类动物尾部表型的系统发育树（Ma表示百万年前）。图片来源：《自然》网站这在胚胎发育模型中会影响尾部伸长，意味着这种成分会促进人与猿类尾巴的缩短或退化。此外，科学家认为，失去尾巴的演化过程或导致人与猿类更容易出现神经管畸形。与其它灵长类物种不同，人科猿类包括人类、黑猩猩、大猩猩、红毛猩猩和长臂猿都没有尾巴。尾巴的消失，是人类和其它猿类演化中最显著的身体变化之一。不过，演化掉尾巴的遗传学机制一直有待阐明。此次，包括美国纽约大学朗格尼健康中心科学家在内的研究团队，筛查了与脊椎动物尾巴发育相关的140个基因，寻找可能导致猿类失去尾巴的变化。他们认为，Alu元件插入猿类祖先的Tbxt基因（与有尾动物的尾巴发育相关）可能促进了尾巴的消失。为检测这种理论，他们构建了表达Tbxt基因不同形式的小鼠模型，包括两种外显子跳跃异构体（在猿类中这种异构体可通过插入Alu诱导）。团队发现，表达两种Tbxt形式的小鼠皆没有尾巴，或尾巴变短，具体取决于胚胎尾芽表达的相对数量。这是证明外显子跳跃Tbxt异构体导致尾巴消失的证据。此外，他们还发现表达外显子跳跃Tbxt异构体的小鼠可能会出现神经管畸形，这种疾病在每1000个人类新生儿中约有一例。研究人员指出，神经管畸形可能是尾巴在演化中消失的适应代价。神经管畸形到今天仍在影响人类，包括由于脊髓在子宫内发育不完全导致的脊柱裂。 ... PC版： 手机版：

不速之客：亚洲蜜蜂如何在澳大利亚打破进化预期?

不速之客：亚洲蜜蜂如何在澳大利亚打破进化预期? 最近的研究表明，入侵的亚洲蜜蜂在北昆士兰迅速适应并蓬勃发展，尽管遗传多样性较低，但其数量已超过 10,000 群。一只亚洲蜜蜂（照片摄于其在中国的自然分布区）。图片来源：Ben Oldroyd/悉尼大学共同第一作者、悉尼大学生命与环境科学学院的罗莎琳-格洛阿格（Rosalyn Gloag）博士说："我们对这一蜜蜂种群的研究表明，尽管相对于其本土范围的种群而言，某些物种一开始的遗传多样性非常低，但它们能够迅速适应新环境。Gloag 博士说，一般认为，高遗传多样性对于一个种群快速适应不断变化的环境条件非常重要，例如当一个物种被迁移或经历自然或气候变化灾害造成的快速环境变化时。昆士兰北部凯恩斯的入侵蜂群。图片来源：Ros Gloag 博士研究小组强调了这一案例研究对了解一般人口复原力的重要性。她说："然而，我们已经证明，尽管遗传多样性急剧下降，但这一入侵蜜蜂种群自抵达后已迅速适应了环境。当我们观察到许多物种正在应对人为气候变化时，这一点就显得更加重要了。"该大学生命与环境科学学院的 Ros Gloag 博士。图为 Gloag 博士与一个四角蜂巢（不是研究中的亚洲蜜蜂）。资料来源：悉尼大学研究的重要性通过研究昆士兰的入侵种群，研究小组获得了罕见的自然入侵的完整遗传年表，从蜜蜂到达后不久就开始了研究。该蜂群可能来自巴布亚新几内亚，于 2007 年抵达澳大利亚，由于蜜蜂可能携带寄生虫，澳大利亚的生物安全引起了关注。最终发现这些蜜蜂并没有携带最令人担忧的寄生虫变种螨，而变种螨已通过未知途径抵达澳大利亚，威胁着国内的蜂蜜产业。昆士兰凯恩斯的亚洲蜂群。图片来源：Ros Gloag 博士"我们很幸运能够获得这一入侵种群的完整采样时间表，这要归功于昆士兰州农业和渔业部做出的巨大努力。虽然这次尝试没有成功，但收集到的生物材料对于了解这些入侵是如何进行的非常有价值。这反过来又帮助我们更好地应对未来的入侵。"有了这个全面的样本集，科学家们得以对 10 年来收集的 118 只蜜蜂的整个基因组重新测序。Gloag博士说："我们基本上可以观察到自然选择随着时间的推移在遗传多样性较低的种群中发挥作用。从这个独特的有利位置，我们可以看到，选择是作用于基因组中的变异，而这些变异是随着最初的几只蜜蜂一起出现的。这不是后来通过突变产生的变异。换句话说，一些遗传多样性很低的物种可以很快适应环境。虽然这对于应对新来入侵物种的环境来说可能是个坏消息，但对于在气候变化或其他自然或人为灾害（如丛林大火）面前暂时崩溃的种群来说，这可能是个好消息。"编译自:ScitechDaily ... PC版： 手机版：