困扰世界近一个世纪的数学难题：拉姆齐问题已被破解

困扰世界近一个世纪的数学难题：拉姆齐问题已被破解拉姆齐问题，如r(4,5)，陈述起来很简单，但如图所示，可能的解几乎是无穷无尽的图/JacquesVerstraete/加州大学圣地亚哥分校拉姆齐定理（英语：Ramsey'stheorem），又称拉姆齐二染色定理，断言对任意正整数k和l，若一个聚会的人数n足够大，则无论相识关系如何，必定有k个人相识或l个人互不相识。给定k,l时，保证前述结论的最小n值称为拉姆齐数R(k,l)，其值取决于k,l。用图论术语复述：若将足够大的完全图各边染红蓝两色，则不论如何染，必定有红色的k阶完全图或蓝色的l阶完全图。拉姆齐定理是组合数学的重要结论，以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐命名。他在1930年论文《论形式逻辑的一个问题》证明此定理最初的版本，开创现称拉姆齐理论的组合理论分支。拉姆齐理论的主题是从“无序”寻找“规律”，希望找出某数学结构中，存在规律子结构的一般条件。在拉姆齐定理的图论表述中，此“规律子结构”是同色集（monochromaticset），即顶点集的子集，其中各边皆染成同一颜色。拉姆齐理论是以英国数学家和哲学家弗兰克-P-拉姆齐（FrankP.Ramsey）的名字命名的数字游戏的一个分支，非常复杂。在这个图论数学的角落里，最著名的问题是r(3,3)，通常被称为朋友和陌生人定理，它假设在一个由六个人组成的小组中，你会发现至少有三个人互相认识，或者有三个人互相不认识。显然，r(3,3)的答案是6。"这是自然界的事实，是绝对真理。不管情况如何，也不管你选择哪六个人，你都能找到三个互相认识的人，或者三个互相不认识的人。也许你能找到更多的人，但你能保证至少有三个人在一个小集团或另一个小集团中。"一旦找到了r(3,3)，数学家们就开始寻找后续问题的答案：r(4,4)、r(5,5)和r(4,t)，在这些问题中，不相连的点的数量各不相同。数学家们发现r(3,3)的答案是6之后，又发生了什么呢？自然，他们想知道r(4,4)、r(5,5)和r(4,t)，其中不相连的点的数目是可变的。上世纪，埃尔德什和乔治-塞克雷斯发现r(4,4)的答案是18。与此同时，r(5,5)仍然是个未知数。"很多人都想过r(4,t)--90多年来，这一直是个悬而未决的问题，"Verstraete说。"但这并不是我研究的重点。每个人都知道这很难，每个人都想把它弄明白，所以除非你有新的想法，否则你不可能取得任何进展。"虽然从表面上看，这似乎不是那种需要花费近百年时间才能弄明白的问题，但在图论中，外表是会骗人的。例如，在求解r(5,5)时，如果你知道答案介于40和50之间，并且从图形上的45个点开始，那么将有10234个图形需要研究。Verstraete解释说："因为这些数字很难找到，所以数学家们都在寻找估计值。这就是山姆和我最近的研究成果。'我们如何找到这些拉姆齐数字的最佳估计值，而不是准确答案？'"Verstraete第一次意识到r(4,t)是在《ErdösonGraphs》中：这本书由加州大学圣地亚哥分校教授FanChung和已故的RonGraham合著。这个问题是埃尔德斯提出的一个猜想，他向第一个能解决这个问题的人提供了250美元。我们可以想象，在20世纪30年代，250美元的奖金可能会比2023年要"丰厚"得多。虽然Verstraete在一段时间内一直惦记着r(4,t)，但直到大约四年前，在与另一位数学家研究另一个问题时，他才在伪随机图方面取得了突破性进展，从而走上了解决拉姆齐之谜的道路。2019年，Verstraete和那位数学家DhruvMubayi解决了r(3,t)，但也仅此而已。直到他与具有有限几何背景的马修斯合作，解决下一个问题的梦想才开始看起来有可能成为现实。"结果证明，我们需要的伪随机图可以在有限几何中找到，"Verstraete说。"山姆是最合适的人选，他可以帮助我们构建我们所需要的东西。我们花了将近一年的时间，终于找到了r(4,t)的解：从根本上说，如果要举办一个总是有4个相互认识的人或t个相互不认识的人参加的派对，那么大约需要t3个人参加。(因为不是精确的3，所以是近似值）。"Verstraete说："我们真的花了很多年才解决这个问题。"有很多次我们都被卡住了，不知道我们是否能解决它。但无论花多长时间，我们都不应该放弃。"数学家们没有透露r(5,5)现在是否已经出现在白板上，因为他们在此期间要等待他们的研究通过同行评审和验收。"如果你发现问题很难，而且卡住了，那就说明这是一个好问题，好问题会反击。你不能指望它自己就显现出来。"他补充说："我接到Fan的电话，说她欠我250美元。"遗憾的是，遥远的那笔1930年代的"找人费"没有进行通货膨胀调整。这项研究正在《数学年鉴》（AnnalsofMathematics）杂志上接受评审。...PC版：https://www.cnbeta.com.tw/articles/soft/1394101.htm手机版：https://m.cnbeta.com.tw/view/1394101.htm

百岁数学巨匠Eugenio Calabi陨落 丘成桐视他为师 90岁依旧研究数学

百岁数学巨匠EugenioCalabi陨落丘成桐视他为师90岁依旧研究数学在22年后的1976年，时年27岁的丘成桐正是通过证明这一猜想，一举名扬四海。也因此让丘成桐在1982年斩获数学界最高奖菲尔兹奖，成为这一奖项的首位华人得主。△卡拉比（左）与丘成桐（右）拍摄于1999年但更为重要的是，正是卡拉比猜想的证实，才有了后来以二人名字命名的卡拉比-丘流形。在物理学家们的关注之下，卡拉比-丘流形也成为了连接数学和物理的重要桥梁，并为物理学打开了一扇新大门。简而言之，用物理学家布莱恩·格林（BrianGreene）来说就是：宇宙的密码，也许就刻在卡拉比-丘空间的几何之中。甚至直到现在，每年都会有众多数学家、物理学家，发表数千篇文章来探索它的性质。而这一切故事的开始，都是源自卡拉比当年提出的那个猜想。因此，很多人在提到卡拉比的时候都会用这样的形容来描述：富有创造力，具有革命性、原创性的数学家。现如今，这位数学界的巨星陨落，我们谨以此文来纪念卡拉比传奇且值得敬仰的一生。为超弦理论打下基础1923年，卡拉比出生于意大利米兰的一个家庭，1938年举家迁往美国。他本是一位16岁就进入MIT的天才少年，却在进入校园后足足7年才本科毕业。当然，问题并不是出在卡拉比自身，只是命运和他开了一个小小的玩笑。1939年入学的卡拉比，本科生涯是几乎都是在二战时期度过的，前三年都还算顺利。转折出现在1943年，本来快要毕业的卡拉比应征入伍，上学的事情只好推迟了。这一去便是两年，二战胜利后，卡拉比在退伍军人组织的帮助下终于在1946年取得了学士学位。但天才终究是天才——本科毕业后仅过了一年，卡拉比就在伊利诺伊大学香槟分校获得了数学硕士学位。硕士毕业后，卡拉比到普林斯顿大学攻读博士学位，导师是美国科学院院士博赫纳（SalomonBochner）。△博赫纳读博期间，卡拉比对凯勒流形产生了深厚的兴趣，他的学位论文也与此有关，这为卡拉比猜想的提出埋下了伏笔。1950年，卡拉比获得了博士学位，并于次年开启了在路易斯安那州立大学的助理教授生涯。时间来到1953年，卡拉比开始思考一类以前“从未有人想象过的形状”。直到1954年，国际数学大会在阿姆斯特丹举行，正是在这届数学大会上，卡拉比在会议的邀请报告中用一页纸写下了他的著名猜想。令M为紧致的卡勒（Kahler）流形，那么对其第一陈类中的任何一个（1，1）形式R，都存在唯一的一个卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。如果从物理学上来描述，这个猜想可以表示为在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引力场？卡拉比还粗略地描述了一个他的猜想的证明思路，并证明如果解存在则必定唯一。但此后的20多年里，这一猜想始终未能得到证明，其间卡拉比先后到了明尼苏达大学和宾夕法尼亚大学任教，并晋升为了教授。尽管卡拉比在提出猜想的同时给出了证明思路，但在1957年，他发现这条路可能走不通。按照卡拉比的思路，证明过程中需要求解一个极为艰深而复杂的偏微分方程，叫作Monge-Ampere方程。卡拉比请教了著名数学家魏尔（AndreWeil）教授，结果魏尔也表示自己无能为力。（实际上，到2021年，关于该方程的突破依然是可以发顶刊的水平。）直到1970年，正在伯克利读书的丘成桐在导师BlaineLawson的推荐下认识了卡拉比。不过卡拉比和丘成桐两人攀谈一番之后，丘成桐认为他的猜想并不成立，此后便开启了3年的寻找反例生涯。1973年，丘成桐在出席国际几何会议期间将此消息告诉了几位朋友，引发一片哗然，并被邀请进行报告。会上，丘成桐详细介绍了如何寻找卡拉比猜想的反例，卡拉比本人也参加了报告会。陈省身在会后对丘成桐说，这个反例或许是本次大会的最佳成果。卡拉比猜想中涉及的“陈类”便是因陈省身而得名，陈省身的这一评价似乎宣告了卡拉比猜想的结束。△陈省身但这并没有让卡拉比放弃自己的想法。两个月之后，卡拉比致信丘成桐，希望他能为自己解释反例中一些没有弄清楚的问题。看到这封信，丘成桐马上明白，自己出错了。又经过多次试图举出反例失败后，丘成桐决定调转研究方向——证明卡拉比猜想成立。这一证明过程花费了丘成桐四年时间，但前三年都试图在寻找Monge-Ampere方程的光滑解。但难度可想而知，最终丘成桐决定变换思路，构造一系列近似解并使其最终收敛于Monge-Ampere方程。最终在1976年，丘成桐利用卡勒几何中的曲率的概念成功证明了卡拉比猜想，并将证明过程的复印件寄给了卡拉比。20余年的猜测终于尘埃落定，基于这一猜想，卡拉比-丘流形被构建了出来，成为了物理学界超弦理论重要基础。此后，卡拉比依旧对数学葆有着深厚的热情，直到90多岁，他仍继续坚持着进行数学研究。不过，卡拉比并不是从一开始就决心成为一名数学家。从化学工程师转行研究数学卡拉比的父亲是一名律师，还有一个当记者的姐姐。尽管卡拉比小时候对数学也有浓厚的兴趣，但他在麻省理工学院主修的专业是化学工程。二战入伍期间，他在法国和德国给美国陆军担任翻译。回到美国后，他在攻读数学硕士和博士之前曾短暂担任化学工程师。但从读数学硕士开始，卡拉比对数学的热爱便一直延续到了生命的尽头。对于自己所喜欢的数学，卡拉比这样描述：能把自己的爱好当成一种职业，是我一生中非同寻常的幸运卡拉比非常喜欢与人交流数学问题，和学生谈话可能会持续几个小时。他的学生陈秀雄回忆说，卡拉比教授总是充当话题开启者的角色。无论是在收发室还是走廊中，陈秀雄经常被卡拉比“拦下来”讨论数学问题。△陈秀雄每当有灵感时，卡拉比会随手拿来纸张，在信封、餐巾纸等纸片上写下公式。丘成桐与卡拉比交流时也遇到过这种情景，他还保存了一些当时使用的餐巾纸。我总是从这些公式中学习，这些公式传达了卡拉比不可思议的几何直觉。他非常慷慨地分享自己的想法，并不在乎是否能因此获得荣誉。他只是觉得做数学很有趣。百岁生日获众多数学家祝贺在数学界，能够庆祝一位传奇人物百岁生日并不是常见的事情。上一次出现这种情况还要追溯到1991年奥波德·维托里斯（LeopoldVietoris）的百岁寿辰。因此在今年5月11日，在卡拉比100周岁生日之际，全球众多数学家都道来了祝贺。从这些祝贺语中，我们其实也可以从侧面看出卡拉比在为人和学术上所散发的光芒。最值得一提的便是丘成桐了，他在为卡拉比的撰文中这样描述道：我视陈省身、莫里、尼伦伯格、辛格和卡拉比为师，但思想上与卡拉比最为接近，交流最无拘束。所以每次见到他，都会上天下地，无所不谈。这二十年来，我们见面时间不多，但是我总惦记着我的老师和朋友卡拉比先生。他一生追求学问，不慕名利，乐于教人，受到同行的尊敬，晚辈的仰望。他的数学成就斐然，早已铭刻在科学史的丰碑上。宾夕法尼亚大学的杰瑞·卡兹丹（JerryKazdan）回忆起他与卡拉比学术交流的过程。他认为卡拉比所拥有的惊人的对几何的洞察就是自身的天赋，他对什么是重要和有趣的事情有着深刻的直觉，并总是慷慨地分享他的想法：他经常来到我的办公室，开始在黑板上解释他最近的一些想法。以至于有时候，碰巧在办公室的本科生会一头雾水地看二人的讨论。陈秀雄在贺词中则是提到了卡拉比教会他的一种好习惯：卡拉比教授会让我在下次见面时重复他说的话或我听到的内容，而不参考任何笔记。正如他所解释的...PC版：https://www.cnbeta.com.tw/articles/soft/1391657.htm手机版：https://m.cnbeta.com.tw/view/1391657.htm

生死之交：马尔科姆·X与拳王阿里 Blood Brothers: Malcolm X & Muhammad Ali (20

名称：生死之交：马尔科姆·X与拳王阿里BloodBrothers:MalcolmX&MuhammadAli(2021)描述：在关键的三年里，拳王阿里与马尔科姆·X结下了兄弟情谊，这不仅改变了两人，也改变了世界。《结拜兄弟：拳王阿里与马尔科姆·X》讲述了20世纪两位标志性人物从结缘到最终决裂的往事。很少有人能理解两人之间的这份情谊。在这部由制片人肯尼亚·巴里斯打造的全新长篇纪录片中，导演马库斯·A·克拉克提供了一个新鲜视角，通过知情人士的采访和未公开镜头来描绘这种复杂的友谊，带领观众深入了解这两位并驾齐驱的传奇人物：他们一位是魅力四射、为人直率的奥运冠军，举国都为之倾倒；一位从前科犯变为知识分子革命家，并勇于谴责压迫。通过采访与他们最亲近的人（马尔科姆·X的女儿伊利亚莎·沙巴兹、阿里的兄弟拉曼和女儿玛丽尤姆和哈娜）以及康乃尔·韦斯特和阿尔·夏普顿等文化名人，这部电影讲述了他们的相遇、结缘以及最终因“伊斯兰民族”领导层的不和而闹翻的过程。该电影改编自兰迪·罗伯茨和约翰尼·史密斯联合创作的书籍《BloodBrothers》，由马库斯·A·克拉克（《未解之谜》《热血嘻哈风》）执导，肯尼亚·巴里斯和贾森·佩雷斯担任制片人，监制团队包括埃林·桑普森、乔纳森·秦、西蒙·秦、西蒙·乔治和马库斯·A·克拉克。链接：https://pan.quark.cn/s/d073ac6278be大小：x标签：#纪录片#传记#历史#生死之交#quark频道：@yunpanshare群组：@yunpangroup