谷歌 DeepMind 利用大型语言模型解决了一个长期困扰人类的数学难题

谷歌DeepMind利用大型语言模型解决了一个长期困扰人类的数学难题谷歌DeepMind利用一大型语言模型成功破解了一项著名的未解数学难题。研究人员发表在《自然》杂志上的一篇中表示，这是首次使用大型语言模型发现长期科学难题的解决方案，产生了可验证且有价值的新信息，这些信息之前并不存在。“这不在训练数据中，甚至以前都不知道，”谷歌DeepMind研究副总裁PushmeetKohli说道。它结合了一个名为Codey的大型语言模型，这是Google的PaLM2的一个版本，经过对计算机代码进行了精细调整，还与其他系统结合使用，拒绝不正确或荒谬的答案，并将正确的答案重新插入其中。经过数百万次建议和几十次总体过程的重复——这花了几天的时间——FunSearch能够提出代码，产生了一个正确且以前未知的解决方案，解决了capset问题，涉及找到某一类型集合的最大大小。——

x²-dy²=-1有多少整数解？近30年无人解开的数学难题有答案了

x²-dy²=-1有多少整数解？近30年无人解开的数学难题有答案了数学界几十年来的一个谜题，终于被解开了。这个猜想和初等数论中经典的佩尔（Pell）方程：x2-d*y2=1有关。（这里d是整数，求x、y也都是整数的解。）在此之前，经典佩尔方程的整数解情况已得到证明：当d≤0或d为某大于0的完全平方数时，该方程有唯一解：x=±1，y=0；当d>0且不是完全平方数时，该方程有无数组正整数解。不过数学家们的探究精神一般不会止步于此。有人提出将等号右边的1变成-1，并将这个新的方程称为负佩尔方程（II型佩尔方程），结果整数解的情况立刻变得复杂了许多。时间拨到1993年，当时数学家彼得·史蒂文哈根（PeterStevenhargen）提出了一个公式，对负佩尔方程的整数解情况给出一个精确的答案。而这个猜想提出后的30年，数学界一直无法证明它的正确性。但现如今，来自康考迪亚大学的卡罗·帕加诺（CarloPagano）和密歇根大学的皮特·科伊曼斯（PeterKoymans），终于给出了猜想的“正解”。帕加诺的导师HendrikLenstra教授甚至对此评价说：这个成果为数论的一个分支开辟了新篇章。数论中的经典：佩尔方程在介绍负佩尔方程之前，让我们先来了解一下经典的佩尔方程从何而来。佩尔方程，其实与佩尔完全无关。这一理论最早由费马（PierredeFermat）进行深入研究，由拉格朗日（Joseph-LouisLagrange）给出解决方案，但后来因为被欧拉（LeonhardEuler）误记为佩尔提出，就阴差阳错的流传下来。它的具体形式为：x2-d*y2=1当d是正整数且不是完全平方数，则存在无穷多个解。举个例子，数学史上有个经典的“阿基米德群牛问题”：太阳神养了一群牛，这些牛有公有母，分白色、黑色、黄色和花色四种颜色，给定一系列条件，求解牛的总数有多少？各种颜色的牛分别是多少?这个问题起一直以来吸引了很多数学家的兴趣，最后经过一系列计算，被演化为求解一个佩尔方程：2000年，伦斯查（Lenstra）完全解决了这个问题，他得出了阿基米德群牛问题的所有解：不仅解的数量多，牛的最小数量也让人惊呼：或许只有真·太阳神才能管理了。不同于佩尔方程，负佩尔方程的整数解情况要复杂得多。负佩尔方程前文提到，负佩尔方程可表示为：x2-d*y2=-1；d为整数。显然，当d≤0，以及d为大于1的完全平方数时，方程无整数解。此外，负佩尔方程的整数解复杂性还体现在：负佩尔方程中的很多d值都无整数解。据已知规则得出，d不能是3、7、11、15的倍数等。但除了这些值外，并不是其他的d值就一定有整数解。例如当d=3时，x2–3*y2=-1，无论沿着数轴看多远，都永远找不到解。但事实上，排除3、7、11、15的倍数后，并不是取其他的d值，负佩尔方程就一定有整数解。给定d值后，首先需要求出负佩尔方程的基本解。对负佩尔方程的求通解可使用这个公式：其中，这里的n为任意正整数；a和b则是负佩尔方程的基本解，并有如下等式：x0和y0就是经典佩尔方程的基本解。更多与之相关的细节研究可参考论文：研究者简介最后，...PC版：https://www.cnbeta.com/articles/soft/1306801.htm手机版：https://m.cnbeta.com/view/1306801.htm

Google的秘密AI模型未来很可能在难题数学领域打败人类

Google的秘密AI模型未来很可能在难题数学领域打败人类上周，双子座人工智能模型的最新技术报告公布了其最新数学成绩的详细信息。这份相当厚重的文件显示，Google打算模仿数学家接受的训练来解决复杂的问题，为了实现这一目标，该公司对其双子座人工智能模型进行了专门的变体训练。Gemini1.5Pro的数学变体似乎经过了多项基准测试。根据其文件，Google依靠各种基准来评估其最新人工智能数学模型的输出。这些基准包括MATH基准、美国数学邀请考试(AmericanInvitationalMathematicsExamination,AIME)和Google内部的HiddenMath基准。根据Google的数据，数学型Gemini1.5Pro在数学基准测试中的表现"与人类专家的表现相当"，与标准的非数学型Gemini1.5Pro相比，数学型Gemini1.5Pro在AIME基准测试中解决的问题明显增多，在其他基准测试中的得分也有所提高。Google还举例说明了Gemini1.5Pro所解决的问题。根据该文件，这些问题是"Gemini1.5Pro、GPT-4Turbo和以前所有Gemini型号都没有正确解决的问题"，最终提高了Google产品的性能标准。在它分享的三个示例中，两个是由数学专用的Gemini1.5Pro解决的，而一个是由标准的Gemini1.5Pro变体错误解决的。这些问题通常要求解题者回忆代数中的基本数学公式，并依靠它们的分段和其他数学规则得出正确答案。除了问题之外，Google还分享了Gemini1.5Pro基准测试的重要细节。这些数据表明，在所有五项基准测试成绩中，Gemini1.5Pro都领先于GPT-4Turbo和亚马逊的Claude。据Google公司称，其数学专用变体能够"从单个样本中获得80.6%的MATH基准准确率，在对256个解决方案进行采样并选择一个候选答案时（rm@256），准确率达到91.1%"，这一成就使其与人类专家处于同等水平。事实上，根据Google深度思维首席科学家杰夫-迪恩（JeffDean）的说法，数学模型91.1%的得分大大高于三年前仅为6.9%的"SOTA"（最先进水平）得分。...PC版：https://www.cnbeta.com.tw/articles/soft/1431652.htm手机版：https://m.cnbeta.com.tw/view/1431652.htm

万万没想到 拼瓷砖也能拼出顶级数学难题？

万万没想到拼瓷砖也能拼出顶级数学难题？“我注意到它产生了一种我以前从未见过的组合镶嵌效果，”他说，“这是一种棘手的小瓷砖。”他向志趣相投的好友、加拿大滑铁卢大学的计算机科学家CraigKaplan描述了自己的作品，令后者意识到某种可能性。Smith和Kaplan随后又邀请另两位研究人员——美国国家数学博物馆和阿肯色大学的数学家ChaimGoodman-Strauss和英国剑桥的软件工程师JosephSamuelMyers——加入他们的团队。拥有组合数学方向博士学位的Myers立刻将所有业余时间投入到对帽子形瓷砖的分析上，并在短短一周多的时间里，给出了关键性的证明过程。Kaplan说：“看到他如此迅速地搞定一切，我们都感到非常震惊。”2023年3月20日，这支4人团队正式向数学界宣告，他们找到了所谓“Einstein问题”的解：Smith发现的帽子形瓷砖，以及由帽子形瓷砖连续变换生成的瓷砖族（剔除少数几个例外），全部都是可以非周期密铺全平面的单一形状瓷砖。［为什么叫“Einstein（爱因斯坦）”问题，且看后文。］用“帽子”非周期密铺全平面。丨图源：@[email protected]一时整个数学界都为之震动。要知道，在过去半个世纪里，数学家连一块可以非周期密铺全平面的单一形状瓷砖都未能找到，结果Smith等人在不到半年的时间里，找到了无限多组。同样令数学界匪夷所思的事情是，作为他们研究起点的帽子形瓷砖，竟然是一个如此平平无奇的十三边形。形如帽子的瓷砖图源:@[email protected]而且，包括上面4位做出了重要发现的当事人，当时只怕没有人能够想到，就在两个月后，他们将再次震撼数学界。非周期密铺与Einstein问题Tiling，一般译作铺砌，平铺或者密铺，是组合数学领域里的一个大的分支。大意就是用某些形状单位，无缝隙且不重叠地覆盖住某个几何区域——可以是平面，也可以是空间；只不过对于后者，用于密铺的单位从二维瓷砖变成了三维或更高维的“积木”。比如说，我们可以很“简单”地用单位正方形瓷砖密铺二维平面。当然，实际操作是不现实的，但数学思维赋予了我们一种自由的可能性，让我们能够从理性上体悟到，虽然实现它的过程需要无限的时间，但用单位正方形瓷砖密铺二维全平面，本质上是简单的。类似于，直线是线段向两个方向上无限延伸而来，而我们确实可以把握直线这个涉及无限的概念，并把它作为平面几何的基础。如若再略加思考，我们还可以发现正六边形同样可以密铺平面。类似地，正三角形也可以。下面的密铺属于周期性密铺里最简单、最显然的实例。我们将要介绍的Einstein问题，则属于aperiodictiling——习惯上译作“非周期密铺”。所谓“非周期密铺“，指使用的那组瓷砖在密铺的同时，要保证拼接成的镶嵌图案不具有周期性。显而易见，正方形和正六边形瓷砖只能周期性地密铺平面，而做不到非周期性密铺。凭借直觉也很容易想到，能够非周期密铺平面的那些瓷砖应该具有不对称的特性，就如前面提到的帽子形瓷砖。此处需要说明的是，我们这里所说的图案不具有周期性的含义是，当确定所使用瓷砖的形状之后，无论如何搭配、组合、设计，都永远无法制造出全局性的周期性图案，这才能叫作非周期密铺，而许多密铺（瓷砖类）是周期性和非周期性同时存在的。因此我们可以把aperiodictiling翻译成“本质非周期密铺”，即完全没有周期性存在的密铺。以下如未经说明，提及的“非周期密铺”均指“本质非周期密铺”。数学家之所以对非周期性做出了如此严格的定义，一是为了排除一些过于平凡且无趣的几何结构，二则是和非周期密铺的历史起源相关。历史上首位系统性研究非周期密铺的数学家，是杰出的华裔数理逻辑学家王浩。在研究图灵可计算函数的时候，王浩发现，某个可判定性命题与非周期密铺密切相关。他一度尝试证明如下猜想：如果对某类瓷砖存在（一般意义上的）非周期密铺，那么也一定存在周期性的密铺。但是不久后，王浩的学生RobertBerger构造出了反例，他用20426种不同的瓷砖构造了本质上的非周期密铺——无论怎么重新铺排，都不会出现周期性结构。此后，数学家对本质非周期密铺给与了持续的关注度。数学界渴望了解，是否可以用更少种数目的瓷砖集构造出非周期密铺。后来的人们成功降低了20426这个数字，变成了含92种的瓷砖集，然后是6种，最后是2种，即著名的彭罗斯瓷砖，后者来自后来的诺贝尔奖物理学奖得主罗杰·彭罗斯（RogerPenrose）。图源：https://math.berkeley.edu/~kpmann/penrose%20reading.pdf关于本质非周期密铺，上一次重大的发现要追溯到1974年，数学家罗杰·彭罗斯发现的彭罗斯菱形密铺：使用了一种风筝（浅黄）和一种飞镖（红）。技术细节：需要对图案做一点点小改动来避免形成右侧的菱形（全等的菱形当然可以周期性铺满平面），以满足本质“非周期密铺”的定义。那么，是否还可以把数字降到1呢？这就是著名的Einstein问题了：是否存在单一形状的瓷砖，可用它非周期密铺整个平面？这里的Einstein，和那位著名的物理学家并无关系，单纯是德国几何学家LudwigDanzer的双关语玩笑：在德语里“einstein”的意思是“一块石头”。现在回到故事开头，在2023年3月末，DavidSmith，JosephSamuelMyers，CraigS.Kaplan和ChaimGoodman-Strauss为Einstein问题画上了句号。但故事并没有结束。艺术、灵感与最后一块拼图实际上，Smith等人在使用帽子形瓷砖非周期密铺时，需要用到帽子形的镜像对称版瓷砖。在当前的语境下，我们默认，两个镜像对称的瓷砖，是同一种、同一形状的瓷砖。上面所有瓷砖形状都相同（都是所谓的帽子）。然而，可借助染色揭示一些结构：深蓝色瓷砖和其它瓷砖是镜像对称的。每个深蓝色瓷砖都以相同的方式被其他三个浅蓝色包围。丨图源：@[email protected]就像左、右手是镜像对称的，无法通过旋转和平移实现左右手的重合。两个镜像对称的瓷砖同样不能通过旋转和平移转化成彼此。既然如此，它们真的能叫“单一”瓷砖吗？在数学界普遍认可了Smith等人的成果后，一个新的问题立刻浮出了水面：能否找到不借助镜像对称，仅通过旋转和平移，实现非周期密铺的真正单一形状的瓷砖？当时所有人都认为，这个后续问题只怕十分困难，没有人期望能在近期做出突破。更没有人能够想到答案就在众人的眼皮底下……北京时间2023年5月30日凌晨，DavidSmith，JosephSamuelMyers等4人发布了一篇23页的新论文Achiralaperiodicmonotile（之前关于“帽子”形瓷砖论文长达89页），宣布他们找到了最终的答案。他们找到了不借助镜像对称，仅通过旋转和平移可以非周期密铺的真单一形状的瓷砖，他们将其命名为“Spectre”（姑且翻译成“幽灵”）。神奇又简单的幽灵瓷砖，是一个严格手性非周期单形，也就是说，它只能用平移和旋转来拼成没有重复图案的平铺；即便你想用镜像反射的瓷砖，也用不了。丨图源：@[email protected]Kaplan在上传论文后意犹未尽，又兴奋地在数学网络社区mathstodon分享了他们最新工作的大量细节，包括灵感来源、思考方式和证明思路等等。如前文所述，他们发现的不是满足Einstein问题的唯一一个瓷砖单形，而是一组无限的瓷砖集，集合里的多边形瓷砖都可以满足Einstein问题——当构造出满足条件的帽子后，他们通过微妙地调节帽子的边，生成的类似图形也满足条件。Kaplan等人发现，在一定规则下，这些多边形瓷砖的形状其实可被其中两条边的边长唯一决定。他们因此用Tile(...PC版：https://www.cnbeta.com.tw/articles/soft/1375323.htm手机版：https://m.cnbeta.com.tw/view/1375323.htm

一数 高中数学 数学辞典 一个个知识点击破

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Nature：DeepMind大模型突破60年数学难题 解法超出人类已有认知

Nature：DeepMind大模型突破60年数学难题解法超出人类已有认知这项技术名为FunSearch，其中的Fun是函数（Function）一词的简写。利用大模型解决长期存在的科学难题，产生以前不存在的可验证且有价值*的新信息。在Nature论文配套的新闻解读中，DeepMind负责人称“我们使用大模型的方式是当做创造力引擎”。这是第一次有人证明基于大模型的系统可以超越数学家和计算机科学家的认知。它不仅新颖，而且比当今存在的任何其他东西都更有效。针对这项成果，有网友感慨：如果这是真的，那可是人类自火之后最重要的发现了。那么，FunSearch都解决了哪些问题呢？找到NP-hard问题更优解法DeepMind具体展示了两类问题，它们都属于NP-hard问题。在学界看来，没有而且可能永远也不会有一种算法能在所有情况下都在多项式时间内找到NP-hard问题的精确解。面对这样的问题，研究者通常会寻找近似解或适用于特定情况的有效算法。具体到FunSearch，它解决的第一类NP-hard问题是Capset问题，是上限集问题的一种，它的描述是这样的：在一个n维空间中的每个维度上都有等距的n个点（共n^n个，比如3维就是3*3*3），从中找出尽可能多的点构成一个集合，要求集合中任选3个点均不共线，这样的集合中最多有多少个点？如果看上去有些难以理解，不妨再了解一下Capset问题的前身——上世纪70年代遗传学家MarshaFalco发明的一套卡牌游戏。这套卡牌游戏中一共有81张牌，每张牌中都有1至3个颜色图案，同一张牌中的图案颜色、形状和阴影完都全相同。这套牌一共有3种颜色、3种形状和3种阴影，加上图案数量的不同，一共有3*3*3*3=81张，玩家需要翻开一些纸牌，找到3张牌的特殊组合。如果把这种“特殊组合”的具体方式用离散几何形式进行表达，就得到了Capset问题。Capset问题同样诞生于70年代，由牛津大学数学家RonGraham提出，而第一个重要结果直到90年代才出现。2007年，陶哲轩在一篇博客文章中提到，这是他最喜欢的开放式数学问题。在FunSearch出现之前，Capset问题最重大的突破是美国数学家JordanEllenberg和荷兰数学家DionGijswijt于2016年提出的。通过多项式方法，Ellenberg和Gijswijt将n>6时（n≤6时可精确找到最大集合）此类问题解的上确界缩小到了2.756^n。同样在n>6时，下确界的较新数字则是2.218^n，由布里斯托大学博士生FredTyrrell在2022年提出。但这个下确界仅仅存在于理论上——当n=8时，人类能构建出的最大集合中只有496个点，而按照Tyrrell的结论，点的数量应不少于585.7个。FunSearch则将集合规模扩大到了512个点——虽然和理论值依旧存在差距，但仍被视为20年来在此问题上最重大的突破。同时，Capset集合大小的下确界也被FunSearch提高到了2.2202^n。第二类是在线装箱问题：假设有一组容量为C的标准集装箱和n个物品序列（物品大小不超过C），这些物品按一定顺序到达。“在线”是指操作者无法事先看到所有的物品，但必须在物品到达时立刻决定将物品装入哪个集装箱。最终的目标，是使所用集装箱数量尽可能小。在线装箱问题引起广泛研究是从上世纪70年代开始的，最早更是可以追溯到1831年高斯所研究的布局问题。经过近200年的研究，仍然没有成熟的理论和有效的数值计算方法。传统上常用的贪心算法包括FirstFit和BestFit两种：FirstFit是指将每个物品放入第一个能容纳它的箱子中。BestFit则是将每个物品放入能容纳它的且箱子中剩余空间最小的箱子。而FunSearch则提出了新的算法，该算法在OR和Weibull两个测试数据集中，所用集装箱的数量均大幅下降。特别是在当测试集物品数目达到10万时，FunSearch找到的方案，消耗集装箱数量只比理论下界多出了0.03%。（下表中的数据表示与理论下界的差异，数字越小表现越好）那么，FunSearch是如何实现的呢？搜索“程序”而不是“答案”整体上看，FunSearch的工作流程是一个迭代过程，核心是搜索能解决问题的程序，而不是问题答案本身。搜索，正是DeepMind自AlphaGo以来一直坚持探索的路线。联合创始人ShaneLegg曾在一次访谈中作出解释：AlphaGo击败李世石的关键“第37步”从何而来？不是来自人类对弈数据，而是来自对概率空间的搜索。当前大模型只是模仿、混合不同的训练数据，要想产生真正的创造力并超越目前的架构，就需要结合搜索。回到最新成果FunSearch，系统当中有一个程序库，每次迭代时，系统会从其中搜索初始程序并输入大模型（实验用PaLM2，其他只要支持代码也兼容）。大模型在此基础上构建生成新的程序，并交给自动评估系统，得分最高的程序会被加入程序库，从而实现自我循环。其中，评估系统会根据用户的问题生成测试用例，然后判断候选程序的输出是否正确。根据复杂程度不同，判断正误的方法既包括直接检查输出值，也包括对相关函数进行调用。同时评估系统还设置有容错逻辑，避免超时等问题影响整体流程。最终，系统会根据备选程序在这些测试用例上的行为给出整体评分，为结果生成和后续程序库更新提供依据。论文合著者威斯康星大学麦迪逊分校的JordanEllenberg认为，FunSearch的一个重要特点是，人们可以看到AI产生的成功解决方案并从中学习，与之前AI的黑箱模式完全不同。对我来说最令人兴奋的是建立人机协作的新模式，我不希望用它们来替代人类数学家，而是作为力量倍增器。...PC版：https://www.cnbeta.com.tw/articles/soft/1404741.htm手机版：https://m.cnbeta.com.tw/view/1404741.htm